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 Chapitre 01

Distances et angles
  • II. Distance et cercle.
    • Positions relatives entre cercle et droite.
    • Construction d'une tangente.
  • III. Distance et bissectrice :
    • Point sur une bissectrice.
    • Propriété caractéristique des points d'une bissectrice.
    • Construction de la bissectrice d'un angle.

Table des chapitres

Exercices et problèmes


I. Distances entre points et droites


I.1 Distance d'un point à deux autres points.

Ce qui nous donne trois points A, B et C, c'est à dire un triangle. Deux points A et B sont toujours alignés (ils définissent une droite (AB) ou un segment [AB]) mais trois points ne le sont généralement pas.

Comment démontrer que trois points sont alignés? C'est une question parfois difficile à résoudre. Nous aurons l'occasion d'y revenir souvent ( la fiche ALI est consacrée à ce sujet).

a. Milieu de deux points:

Pour commencer revoyons deux outils (voir aussi le Répertoire)  :

        Si un point I est milieu d'un segment [AB] Alors ce point I est sur la droite (AB) et est équidistants des extrémités A et B du segment [AB] (fiche ALI 4°)
                et sa réciproque  :
        Si un point I est sur la droite (AB) et est équidistants des extrémités A et B du segment [AB] Alors ce point I est milieu du segment [AB] (fiche MIL 1°)

Nous avons simplement échangé les hypothèses (en vert) et les conclusions (en rouge).
Attention, cela n'est pas toujours permis: voici une règle applicable à la vie de tous les jours, "Si il pleut alors je prends mon parapluie". Croyez vous que la réciproque soit vraie (pour qu'une règle soit vraie il faut qu'elle soit toujours vraie avec les hypothèses données)  :  "Si je prends mon parapluie alors il pleut" !!

Pratiquement:

Le premier théorème permet de démontrer que, sachant que I est milieu de [AB]  :
        -  les trois points sont alignés  ;
        -  deux segments ont la même longueur.
Le second permet de démontrer qu'un point est milieu d'un segment si nous savons DEUX choses: il y a des distances égales ( I équidistant de A et B  :  IA  =  IB) ET les trois points sont alignés. Ne pas oublier dans les démonstrations, cet alignement des trois points.

b. Inégalité triangulaire  :

Si cette notion n'est pas très claire dans votre esprit, allez voir dans le Répertoire.

Pratiquement:

Cette propriété permet:

-  de vérifier qu'un triangle, dont on connaît les longueurs des côtés, est constructible : un côté (n'importe lequel) est toujours plus petit que la somme des deux autres. Il suffit de vérifier cette inégalité.
-  de vérifier si trois points sont alignés ou non (dans ce cas un côté est égal à la somme des deux autres).

c. Médiatrice d'un segment  :

Affichez dans le cadre du bas le contenu du Répertoire à ce sujet. Les trois premiers chapitres doivent être étudiés soigneusement.

Vous devez en connaître la définition et sa réciproque présentées ici sous la forme de deux théorèmes:

    Si une droite est perpendiculaire à un segment et le coupe en son milieu alors cette droite est la médiatrice de ce segment. (DMED n°1)

    Si une droite est la médiatrice d'un segment alors cette droite est perpendiculaire à ce segment en son milieu. (MIL n°2) 

Ainsi que deux théorèmes importants (ils sont réciproques l'un de l'autre):

Si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors ce point est équidistant des extrémités de ce segment. (DIS n°10)

Si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment. (ALI n°6a et DMED n°2)

Pratiquement:

Vous devez savoir construire une médiatrice (voir une animation).
Dès que vous savez qu'une droite passe par le milieu d'un segment, vérifiez tout de suite si cette droite est perpendiculaire à ce segment, et vice versa.
Si il vous est demandé de démontrer l'égalité de deux distances pensez à rechercher l'existence :
        - soit d'une médiatrice ;
        - soit d'un parallélogramme (ce type de quadrilatère a ses côtés opposés égaux et des diagonales qui se coupent en leur milieu.


I.2 Distance d'un point à une droite. 

Théorème :

    Si A est un point extérieur à (d) , H un point de (d) et [AH] perpendiculaire à (d) alors AH est la plus courte distance de A à un point de (d). (voir La démonstration).  

La distance d'un point A à la droite (d) est la longueur du segment d'extrémité A et perpendiculaire à (d).
   - Le point H est alors l'autre extrémité de ce segment.
   - H est appelé pied de la droite passant par A et perpendiculaire à (d).
La distance de A à (d) est donc AH.
H est le point de la droite (d) le plus près de A. Si vous désirez trouver vous même la démonstration :

Tracer la droite (D) perpendiculaire à (d) et passant par A. Soit H le point d'intersection de (D) avec (d).
Soit P un point quelconque de (d). Démontrer que AH est inférieur à AP.

Conseil: tracer le point symétrique de A par rapport à H.      

Pratiquement:

Vous reconnaîtrez la distance d'un point A à une droite (d) en vérifiant deux choses : 

- qu'il y a un segment commençant en A et finissant en un point de (d)v;
- que ce segment est perpendiculaire à (d).

La distance de A à (d) est alors la longueur de ce segment.
Si ce segment n'existe pas sur votre dessin, vous pouvez le tracer mais, attention, vous introduisez des propriétés supplémentaires dont il vous faudra tenir compte dans vos démonstrations ; à moins qu'il vous soit demandé expressément de le construire.


I.3 Distance entre deux droites parallèles.

 Théorème :
    Si (d) et (d') sont deux droites parallèles et A un point de (d) alors la distance entre (d) et (d') est la distance de A à (d').

    Pour deux droites parallèles données (d) et (d'), la distance entre elles est toujours la même (voir La démonstration ).
Si les deux droites (d) et (d') sont des parallèles confondues alors leur distance est égale à 0.
    Si vous désirez trouver vous même la démonstration :

    Sur (d) choisir deux points A et B quelconques. Placer sur (d') les pieds H et K des droites perpendiculaires à (d') et passant par A et B
    Démontrer que AH = AK.         
Pratiquement:

Si vous avez sur votre dessin, deux droites parallèles (d) et (d') coupées par une droite (D) perpendiculaire à l'une d'elles alors:
      - (D) est aussi perpendiculaire à l'autre (DPER n°1) et coupe (d) et (d') en deux points A et B.
      - la distance entre les deux droites parallèles (d) et (d') est la longueur du segment [AB].

Conséquences:

Soient deux droites parallèles (d) et (d') et les points A et B sur (d').
        a) Les triangles de base [AB] ayant leur troisième sommet C n'importe où sur (d), ont tous la même aire.
        b) Les parallélogrammes construits sur [AB] et ayant le côté opposé à [AB] sur (d), ont tous la même aire.
        c) l'aire des triangles du a) est la moitié de l'aire des parallélogrammes du b).
                    Veuillez démontrer ces trois affirmations.   (voir une solution)

 

    ©   Lallet   Gérard   2008