I. Les parallélogrammes

I.1 Remarques préliminaires.

  Veillez à bien nommer les quadrilatères (et d'une façon plus générale: toutes les figures qui ont plus de 3 sommets) en écrivant les noms des sommets consécutifs (il suffit de commencer par un sommet, de suivre un côté qui s'y rattache jusqu'au sommet suivant, à partir de ce nouveau sommet, suivre le côté ...et ainsi de suite jusqu'au retour au premier sommet qui cette fois ne sera pas écrit):

I.2 Les propriétés fondamentales.

  Ces propriétés définissent les parallélogrammes de bases.

- La fiche QPAR:

   Les quatre théorèmes de cette fiche sont à connaître absolument. Leurs réciproques sont également utilisables: si vous savez que le quadrilatère étudié est un parallélogramme alors vous pouvez en déduire que:

- ses côtés opposés sont égaux et parallèles deux à deux (DPAR n°04 et DIS n° 05).
- ses diagonales se coupent en leur milieu (MIL n° 06).

   Attention : la propriété QPAR n°03 est assez délicate à utiliser.

 Si un quadrilatère a deux côtés égaux ET parallèles
alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

   Comme hypothèses nous avons 2 côtés égaux et parallèles. Il s'agit bien de deux côtés seulement qui ont les deux propriétés (égaux ET parallèles) en même temps: voir Fig 1.

   La conclusion dépend du quadrilatère "terminé": AEGF (Fig 2) ou AEFG (Fig 3)

   Le quadrilatère AEGF est un parallélogramme mais le quadrilatère AEFG n'est pas un parallélogrammme: observons les figures ci-dessus. La Fig 1 donne bien les hypothèses du théorème (les deux côtés [AE] et [FG] sont égaux ET parallèles).
            Fig 2: Si nous joignons A et F ainsi que E et G, nous obtenons un quadrilatère qui "contient" ses diagonales. Il s'agit bien d'un parallélogramme. Nous dirons que le quadrilatère est non croisé.
            Fig 3: Si nous joignons E et F ainsi que A et G, nous obtenons un quadrilatère AEFG dont 2 côtés SONT les diagonales. Dans ce cas il ne s'agit plus d'un parallélogramme. Nous dirons alors que le quadrilatère est croisé.

   Conclusion: nous ne pouvons utiliser le théorème QPAR n°03 que dans le cas de quadrilatères non croisés. Il faudra donc vérifier (sur la figure) que le quadrilatère utilisé est bien non croisé et le préciser dans la rédaction chaque fois que vous l'utiliserez. Revoyez la remarque sur la notation des quadrilatères.

- Les angles des parallélogrammes:

   Nous rappelons le théorème ANG n°5:

Si un quadrilatère est un parallélogramme
alors ses angles opposés sont égaux deux à deux.

   Conséquence directe : démontrez que, dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires. Voir une solution

I.3 La famille des parallélogrammes.

   Voyez aussi aussi son "arbre généalogique" dans le Répertoire (son "ancêtre fondateur "est le quadrilatère).

   La figure suivante est dessinée à l'aide d'Imagéo (le temps de chargement de cette figure est plus long que pour une figure ordinaire). Si vous n'avez pas validé Java pour votre navigateur cette figure n'est pas visible. En cliquant ICI , ceux qui sont intéressés par la construction de cette figure à l'aide de leur logiciel Imagéo (ou en utilisant la version Web accessible en cliquant sur l'icône  ) trouveront la liste (le script) commentée des commandes à utiliser.

    ©   Lallet   Gérard   2008