Quadrant ; Quadrilatère

 Quadrant :     

Le plan muni d'un repère est partagé en quatre parties appelées quadrants. Le quadrant numéro 1 est celui dans lequel les points ont des abscisses et des ordonnées positives. Les autres quadrants sont numérotés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Pour en savoir plus voir le Répertoire.

Quadrilatère :     

C'est une figure possédant quatre côtés. Ces côtés ne sont pas forcément égaux ou parallèles.

Voyez aussi le document du Répertoire qui traite des quadrilatères.

Racine ; Rayon; Réciproque; Rectangle; Réduction ; Régulier; Repère ; Rotation

Racine carrée :     

La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif dont le carré est a : .
L'équation x² = a admet deux solutions (à condition que a soit positif, sinon : pas de nombre réel solution).

Rayon :     

Le rayon d'un cercle est la distance qui sépare le centre du cercle d'un point quelconque de ce cercle.

Ce terme désigne aussi le segment qui joint le centre à un point du cercle.

Réciproque :     

Le théorème réciproque est le théorème obtenu en remplaçant les hypothèses par la conclusion et la conclusion par les hypothèses. Le théorème réciproque d'un théorème démontré n'est pas toujours vrai. Exemple:

hypothèses : le quadrilatère est un rectangle.

conclusion : le quadrilatère est un parallélogramme.

Le théorème : "Si un quadrilatère est un rectangle alors ce quadrilatère est un parallélogramme" est vrai, mais sa réciproque est fausse (un parallélogramme n'est pas toujours un rectangle : pour qu'une propriété soit vraie il faut qu'elle le soit toujours).

Rectangle :     

Un rectangle est un parallélogramme dont tous les angles sont droits, les diagonales sont égales et se coupent en leur milieu. Ce point est le centre du cercle circonscrit du rectangle.

Réduction :      voir aussi Augmentation

Lorsque toutes les dimensions d'un objet sont réduites de la même façon en les multipliant par un nombre inférieur à 1, on obtient une réduction proportionnelle de cette objet (son aspect ne change pas, il est simplement plus petit : par exemple les modèles réduits de voiture). Son aire et son volume sont réduits :
Son aire :

Exemple : L'aire d'un carré de côté a est obtenue en calculant le carré de ce côté : Aire_carré= a² ou a × a. Si on réduit la longueur de chaque côté a en multipliant cette longueur par ¹/₂ on obtient ^a/₂ et son aire devient ^a/₂ × ^a/₂ = ^a²/₄ . Où l'on voit qu'en divisant la longueur du côté par 2, on divise son aire par 4 c'est à dire par 2².
Plus généralement : Si on multiplie par un nombre k inférieur à 1, toutes les dimensions d'une figure plane alors l'aire de cette figure est réduite : elle est multipliée par k².

Son volume :

Exemple : Le volume d'un cube est obtenu en multipliant l'aire d'une face par la mesure d'un côté : Volume_cube = a² × a = a³. Si on réduit tous les côtés du cube en les multipliant par ¹/₂ on obtient des côtés de longueur ^a/₂ et le volume du cube devient (^a/₂)³ = a³/₈ (car 2³ = 8). Le volume, dans ce cas, est donc multiplié par (¹/₂)³ = ¹/₈.
Plus généralement : Si on multiplie par un nombre k inférieur à 1, toutes les dimensions d'un solide alors le volume de ce solide est réduit : il est multiplié par k³.

Régulier :     

- Un polygone est régulier lorsque ses côtés sont égaux ainsi que ses angles.

Dans ce cas, les diagonales sont concourantes en leur milieu qui est le centre du polygone régulier. Exemples: triangle équilatéral (pas de diagonales, son centre est l'intersection de ses médianes), carré.

- Une pyramide est régulière lorsque sa base est un polygone régulier et sa hauteur passe par le sommet et le centre de la base. Voir le cours de quatrième (chapitre 06) ou dans le cours de troisième (chapitre 06 sur les polygones réguliers) ou encore le document du Répertoire concernant les pyramides.

Repère :     
abscisse; axe du repère; coordonnées; graduation; ordonnée; origine; point unitaire; unité

Un repère est utilisé pour représenter la position d'un ou plusieurs points sur une droite (repère à une coordonnée), un plan (repère à deux coordonnées) ou dans l'espace (repère à trois coordonnées).

Pour rester dans le cadre du programme de mathématiques du collège je ne renseigne ici que sur les repères d'une droite ou d'un plan.

- repère d'une droite :     

Un repère d'une droite est donné par un couple de points. Exemple : (O;I).

Un point, appelé origine du repère, est choisi sur la droite ainsi qu'une unité de mesure. Celle ci peut être quelconque (un carreau, ou deux, 1cm,..) ou déduite du problème traité. Cette unité permet de graduer la droite. Une graduation d'une droite est définie dès que le point origine est choisi et qu'un point distant de 1 unité de mesure depuis l'origine, est placé. Ce point est appelé point unitaire.

Par exemple, sur la droite (x'x) ci-dessus: le point O est l'origine du repère, I est son point unitaire. Le point P est situé à 4 unités de mesure depuis l'origine. On écrit alors que son abscisse est 4.

L'abscisse de O est donc 0, celle de I est 1, celle de A est -2. Le sens de la graduation est de x' vers x. Pour préciser ce sens il est d'usage de placer une flèche sur l'extrémité x. Ainsi graduée, la droite (x'x) est considérée comme axe du repère.

L'abscisse du point P est souvent désignée par x_P (pour l'abscisse de A on note x_A, pour B, x_B,...)

- repère du plan :     

Pour positionner un point dans un plan il est nécessaire d'avoir deux axes. Ces axes ont un point origine commun. Un repère du plan est donné par trois points. Exemple: (O;I;J) où O est l'origine commune, I et J les points unitaires sur chaque axe.

Les repères se différencient selon la position de leurs axes et leurs graduations (le choix des unités de mesure).

Sur les figures ci-dessus, le point P est accompagné d'un couple de nombres. Pour chaque point du plan muni d'un repère, il n'existe qu'un couple de nombres dans ce repère: ce sont les coordonnées du point (abscisse;ordonnée) dans ce repère:

- le premier de ces nombres est appelé abscisse du point P et noté très souvent par x_P (x_A pour un point A, x_B pour un point B,...). Ce nombre est l'abscisse d'un point de l'axe (x'x).

- le second est appelé ordonnée du point P et est noté y_P. Ce nombre est l'abscisse ( oui... l'abscisse) d'un point du deuxième axe (y'y).

Remarque : les deux nombres sont effectivement des abscisses sur les deux axes. C'est pour ne pas les confondre que la deuxième abscisse est appelée ordonnée.

Le point P (x_P;y_P) est positionné en traçant des droites parallèles aux axes (et donc pas forcément perpendiculaires à ces axes!):

- La droite parallèle à l'axe (y'y) passent par le point de l'axe (x'x) dont l'abscisse est x_P.
- La droite parallèle à l'axe (x'x) passe par le point de l'axe (y'y) dont l'ordonnée est y_P.

L'axe (x'x) est appelé axe des abscisses, l'axe (y'y) est appelé axe des ordonnées.

Remarques:

- tout point de l'axe des abscisses a pour ordonnée 0.
- tout point de l'axe des ordonnées a pour abscisse 0.
- l'origine du repère a pour coordonnée (0;0) quelque soit le repère.
- les coordonnées des points unitaires I et J sont, quelque soit le repère: I (1;0) et J (0;1).

Rotation : (Programme de troisième)     

La rotation de centre O et d'angle a est la transformation qui amène le point A sur le point en le faisant tourner autour de O d'un angle a avec OA=OB.
Une rotation conserve les distances, les angles et les aires. pour en savoir plus voyez le Répertoire.

Sécant; Secteur angulaire ; Section plane ; Sens(sur une droite); Sens(Trigonométrique); Sinus ; Solide; Sphère; Sphère terrestre; Supplémentaires; Symétries; Symétrique

Sécants :    

- cercles sécants: se dit de deux cercles qui se coupent en deux points.
- droites sécantes: se dit de deux droites qui ont un point commun.

Secteur angulaire :     

Un secteur angulaire d'un disque est une partie de ce disque délimitée par un arc et deux rayons passant par les extrémités de cet arc.
Exemple : Un secteur angulaire de côtés [OA] et [OB] est représenté en jaune sur la figure ci contre (il existe deux secteurs angulaires de même nom: l'un est rentrant, l'autre est saillant comme celui colorié en jaune).

Il s'agit d'une surface qui possède une aire. Pour le calcul de cette aire voir le Répertoire.

Sections planes :     

La section plane d'un solide est la surface obtenue en coupant ce solide par un plan. La forme de cette surface dépend du solide et de la position du plan par rapport à ce solide (parallèle à une face ou à une arête, perpendiculaire à un axe, une arête ou une génératrice ).
Exemples :
- la section plane d'un cylindre par un plan perpendiculaire à son axe est un disque de même aire que le disque de base.
- la section plane d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face est un rectangle.

Sens sur une droite :     

Le déplacement sur une ligne (droite, arc de cercle,...) peut s'effectuer vers l'une ou l'autre des extrémités de cette ligne. Il y a deux sens possibles de déplacement.

Dans le cas d'un cercle le sens de déplacement d'un point est donné par rapport au centre: sens des aiguilles d'une montre ou sens inverse des aiguilles d'une montre (sens trigonométrique).

Sens trigonométrique :     

Utilisé dans la mesure des angles. La mesure d'un angle est considérée positive si elle est faite dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Ce sens est aussi nommé "sens direct".
Exemple: l'angle ABC possède deux côtés (BA) et (BC), et un sommet B. Si, pour amener le côté (BA) sur le côté (BC) en tournant autour du sommet B, nous tournons dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, nous considérons que la mesure est positive, sinon elle est négative. Un angle donné a donc deux mesures: tout dépend du sens de rotation autour de son sommet.

Sinus :      

Dans un triangle rectangle en B, le sinus de l'un des angles aigus est donnée par le quotient : 

Exemple : dans le triangle ABC, rectangle en B, le sinus de l'angle  est :   .
Pour plus de détails voir le cours de 3ème (Chapitre 02).

Solide :     

Ce terme désigne généralement des objets dans l'espace tels que les prismes, les cylindres, les cônes, les pyramides, les sphères,...

Sphère : (programme de 3ème)     

Une sphère est une surface de l'espace constituée d'une infinité de points équidistants d'un même point appelé centre de la sphère. Une représentation peut en être donnée par une balle de ping-pong.

Son aire est donnée par . Elle n'a aucun volume (voir Boule).

Pour plus de détails voir le Répertoire.

Sphère terrestre :      voir aussi le Répertoire

La Terre est représentée par une sphère tournant autour de l'axe Nord-Sud.
Les plans perpendiculaires à cet axe coupent la sphère selon des petits cercles appelés parallèles, celui de ces plans qui passe par le centre coupe la sphère selon un grand cercle appelé Équateur (c'est le plus grand parallèle). La demi sphère située au Nord du plan de l'Équateur est appelée hémisphère Nord, l'autre étant l'hémisphère Sud.

Les plans contenant l'axe Nord-Sud coupent la sphère terrestre selon des grands cercles. Chacun des demi grands cercles est appelé méridien. Le méridien qui passe à Greenwich (S.O. de Londres) est le méridien origine. Les méridiens sont "numérotés" en degrés, à partir du méridien origine, de 0° à 180° vers l'Ouest et de 0° à 180° vers l'Est.
En fait, ces "numéros" sont les mesures des angles au centre dont les côtés passent par l'intersection du méridien origine avec l'équateur, et par l'intersection de chacun des autres méridiens avec l'équateur.

 

Ces angles permettent de déterminer la longitude d'un lieu en considérant le méridien du lieu (par tout point de la sphère terrestre passe un et un seul méridien).

La latitude d'un lieu est l'angle au centre de la sphère terrestre dont l'un des côtés passe par le lieu et l'autre par le point d'intersection du méridien du lieu avec l'équateur.

 

Supplémentaires :     

Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 180°. Il n'est pas nécessaire qu'ils aient un côté commun ou le même sommet.

Symétries :     

- Centrale : dans une symétrie de centre O, le point B est le symétrique du point A lorsque O est le milieu de [AB].

Propriété fondamentale :

Si B est le symétrique de A par rapport à O alors O milieu de [AB].

Pour plus de détails voir le Répertoire.

- orthogonale (axiale) : dans une symétrie d'axe (d), le point B est le symétrique du point A lorsque la droite (d) est la médiatrice de [AB].

Propriété fondamentale :

Si B est le symétrique de A par rapport à la droite (d) alors (d) est la médiatrice de [AB].

Pour plus de détails voir le Répertoire.

Symétrique :     

C'est le nom donné à l'image d'une figure par une symétrie centrale ou orthogonale

 

        © Lallet Gérard 2003 -2007