Les angles 

Définitions. Angles particuliers. Le rapporteur. Cosinus d'un angle aigu. Définition Application au triangle rectangle Valeurs particulières Calculs avec le cosinus d'un angle Angles inscrits. Angles égaux. Calculs sur les angles.

Note: Pour plus d'infos sur les fonctions trigonométriques, voir le document sur la Trigonométrie.

I Définitions:

Un angle a un sommet et deux côtés.
La mesure d'un angle ne dépend pas de la longueur de ses côtés. Elle dépend de l'écartement des côtés.
Les unités de mesure sont le degré(°), le grade(gr) et le radian(rd). L'outil de mesure est le rapporteur.

II Angles particuliers:

Selon leur mesure:

1. l'angle plat: 180°
2. l'angle droit: 90°
3. l'angle obtus: entre 90° et 180°
4. l'angle aigu: entre 0° et 90°
5. l'angle nul: 0°

Selon leur position:

1. les angles opposés par le sommet
2. les angles adjacents
3. l'angle au centre (sommet au centre d'un cercle)
4. les angles alternes internes
5. les angles alternes externes
6. les angles correspondants

Notes:
Les angles opposés par le sommet sont toujours égaux.
Deux angles sont adjacents lorsqu'ils respectent trois conditions:

• avoir le même sommet.
• avoir un côté commun.
• les deuxièmes côtés de part et d'autre du côté commun.

Les droites (d1) et (d2) ne sont pas parallèles. Dans ce cas, les angles alternes ne sont pas égaux ainsi que les angles correspondants. Voir le cas particulier des bandes à bords parallèles.

Selon la somme des mesures de deux angles, nous distinguons:

1. les angles complémentaires dont la somme des mesures est égale à 90°. Exemple: 70° et 20°.
2. les angles supplémentaires dont la somme des mesures est égale à 180°. Exemple: 50° et 130°.

III Le rapporteur:

Le dessin ci-contre représente un rapporteur gradué en degrés (de 10 en 10 ici; celui que vous possédez doit l'être de degré en degré). La flèche noire indique le centre du rapporteur. La droite qui passe par les graduations 0° et 180° est un diamètre du rapporteur. Lors de la mesure d'un angle, le centre du rapporteur doit être au sommet de l'angle, le diamètre doit être confondu avec l'un des côtés de l'angle.

1. Mesurer un angle donné:

L'angle étant tracé, placez le centre du rapporteur sur le sommet de l'angle (1), faites coïncider le diamètre du rapporteur avec l'un des côtés de l'angle: [Ox) sur notre exemple (2). Lisez la mesure en face de la graduation qui se trouve en vis à vis du deuxième côté [Oy) (3).

 

 

 

2. Tracer un angle de mesure donnée:

Il est nécessaire qu'un côté soit tracé: [Ox) par exemple. Le positionnement du rapporteur est le même qu'au 1 si le deuxième côté doit se trouver "au dessus" de [Ox). Au lieu de lire une mesure, il faut tracer un petit trait (3) devant la valeur donnée à l'angle.

Mais si nous voulons tracer l'angle de côtés [Ox) et [Oy) avec [Oy "dessous" [Ox) alors il faut opérer de manière un peu différente: placer le centre du rapporteur sur le sommet du futur angle (1), tournez le rapporteur autour de son centre de façon à ce que la graduation désirée (60° sur notre exemple, illustré par la figure ci-contre) soit en vis à vis avec [Ox) (2). Tracez un petit trait en face du 0° (3). Enlevez le rapporteur, joignez le sommet au petit trait et prolongez pour obtenir [Oy).

IV Cosinus d'un angle aigu:

Les droites (d1) et (d2) sont sécantes en un point A et déterminent un angle aigu.
B et C sont deux points quelconques de (d1).
Deux droites parallèles passant par B et C coupent orthogonalement (d2) en E et F.

1. Définition:

Le cosinus de l'angle A est le rapport de EF/_BC.

2. Remarques:

• Le cosinus d'un angle aigu est un nombre inférieur ou égal à 1 (en effet EF<BC).
• Le cosinus d'un angle:
  • ne dépend pas de la position de B et C sur (d1).
  • dépend de l'angle fait par (d1) et (d2).
  • dépend de la façon d'obtenir E et F (des droites parallèles qui sont perpendiculaires au côté (d2)).

3. Application au triangle rectangle:

    Sur la figure ci contre nous pouvons construire un triangle rectangle: en traçant une droite parallèle à (d2) et passant par B. Cette droite coupe (CF) en H. Comme (BH) et (EF) sont parallèles et (CF) est perpendiculaire à (EF) alors (CF) est perpendiculaire à (BH). Nous avons notre triangle rectangle: BCH rectangle H.

     De plus: comme BHFE a trois angles droits alors BHFE est un rectangle. Comme BHFE est un rectangle alors BH=EF.

     Dans le triangle rectangle BCH le cosinus de l'angle B est donc le rapport entre la mesure du côté [BH] adjacent à l'angle B sur la mesure de l'hypoténuse [BC].

4.Remarques:

    Dans un triangle rectangle il y a un angle droit et deux angles aigus. Ces deux angles aigus ont un côté commun qui est l'hypoténuse. Leur deuxième côté est celui qui est appelé côté adjacent. Par suite le cosinus de l'angle C, dans le triangle BCH rectangle en H est le rapport CH/_BC.

5.Valeurs particulières:

     Dans un triangle rectangle le cosinus est toujours obtenu en divisant par le côté le plus long du triangle rectangle, c'est à dire l'hypoténuse. Encore une fois: le cosinus d'un angle est inférieur à 1 ou égal à 1 lorsque l'angle mesure 0° (angle nul).
Lorsque l'angle mesure 90° (angle droit) son cosinus est égal à 0.

 6. Calculs avec le cosinus d'un angle:

• calcul du cosinus:

     Si nous connaissons la mesure de l'angle, il est très facile avec une calculatrice de calculer son cosinus: calculer cos 40° se fait en tapant 40 suivi de la touche cos. Vérifiez bien avant d'utiliser votre calculatrice qu'elle est bien en "mode" degrés (voir éventuellement la documentation de votre machine).

• calcul de l'angle:

     Si nous connaissons le cosinus de l'angle, il faut utiliser une touche supplémentaire qui dépend de la calculatrice: elle se nomme 2nd ou INV ou...(voir la documentation! ce sont là les appellations les plus courantes). Soit l'angle dont le cosinus est 0,715. Entrez ce nombre, appuyez sur la touche 2nd (par exemple) et sur la touche cos. Vous devriez obtenir: 44,35680...en degrés.
Remarque: Essayez 1,5 au lieu de 0,715par exemple. Qu'arrive t-il?.. Pourquoi?.. (la réponse se trouve dans le texte du 5. ci dessus)

• Calcul d'un côté de triangle rectangle:

     Si le triangle ABC est rectangle en A et que la mesure de l'angle B est connue, vous pouvez calculer BC si vous connaissez aussi AB (ou calculer AB si vous connaissez aussi BC).

     Si c'est l'angle C qui est connu, les égalités suivantes seront correctes lorsque vous aurez remplacé l'angle B par l'angle C, le côté AB par le côté AC. Le côté BC étant l'hypoténuse, la place de sa mesure dans les formules est la même.

!!! Ces calculs ne sont valables que dans un triangle rectangle !!!

VI Angles inscrits:

Un angle est inscrit dans un cercle lorsque:           - son sommet est sur le cercle.           - ses côtés sont des cordes issues de ce sommet. Remarque: cette définition s'étend au cas où l'un des deux côtés est tangent

Vocabulaire:

     Arc intercepté: il s'agit de l'arc délimité par les points d'intersection des côtés de l'angle. Il y a deux arcs interceptés par un angle inscrit : celui qui est à l'intérieur de l'angle et celui constitué par le reste du cercle.

Propriétés:

     - La mesure d'un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l'angle au centre (BÔC sur la figure de gauche, AÔB sur celle de droite) qui intercepte le même arc.
     - Si deux angles inscrits interceptent le même arc alors ils sont égaux.

VI Angles égaux:

     Vous trouverez des angles égaux:

• avec la bissectrice d'un angle.
• pour les angles opposés d'un parallélogramme.
• dans un triangle équilatéral ou isocèle
• lorsque des droites parallèles sont coupées par une sécante
• si ils sont aigus et ont même cosinus.
• si ils sont inscrits dans un cercle et interceptent le même arc.

VII Calculs sur les angles:

     Vous pouvez effectuer de nombreuses opérations sur les mesures d'angles.
Si vous connaissez le cosinus (ou le sinus, la tangente) d'un angle aigu vous pouvez en déterminer la mesure.
En utilisant la somme des angles d'un triangle ( égale à 180°), il est souvent possible de déterminer la mesure x d'un angle en connaissant la somme S des mesures des deux autres angles du triangle (x=180-S).

 

© Lallet Gérard 1998-2004