Centre

• Définitions
• Centre de symétrie: voir symétrie centrale.
• Centres
  • Centre d'un cercle
  • Centre du cercle circonscrit à un triangle
  • Centre du cercle inscrit dans un triangle
  • Centre d'un cercle exinscrit à un triangle
  • Centre de gravité d'un triangle
  • Centre d'un parallélogramme
  • Centre de symétrie
• Construction du centre d'un cercle inconnu

Définitions:

Les mots, milieu et centre sont souvent confondus.
Le mot "milieu" est utilisé lorsque l'on parle de segment ou de paire de points.
Le mot "centre" est utilisé lorsque l'on parle de cercle ou de l'intersection de droites particulières d'un triangle ou encore de l'intersection des diagonales d'un parallélogramme.

Les centres:

Centre d'un cercle:

C'est le point équidistant de tous les points du cercle. La distance d'un point du cercle au centre de ce cercle est appelée "rayon" (dans ce cas c'est un nombre). Le mot "rayon" désigne aussi le segment qui joint le centre à un point du cercle. Dans ce dernier cas il s'agit d'un segment, c'est à dire d'une infinité de points!

Sur la figure ci-contre: Rayon = OA = OB = OC...

Centre du cercle circonscrit à un triangle: (voir aussi l'animation)

C'est le point qui est équidistant des sommets du triangle.
Sur la figure: OA = OB = OC
Pour placer ce point il faut tracer les médiatrices de deux côtés du triangle. Leur point d'intersection est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Centre du cercle inscrit dans un triangle: (voir aussi l'animation)

C'est le point qui est équidistant des côtés du triangle.
Sur la figure: OH = OI = OJ ces distances sont les distances du point O aux droites constituant les côtés du triangle.
Pour construire ce point il faut tracer les bissectrices de deux angles du triangle. L'intersection de ces deux bissectrices est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

Remarque:
La bissectrice du troisième angle du triangle passe aussi par ce point.

Centre d'un cercle exinscrit à un triangle:

Il s'agit ici d'un point extérieur au triangle et équidistant des trois côtés de ce triangle.
Pour le construire, il faut tracer les bissectrices de deux angles extérieurs au triangle (la troisième bissectrice passe évidemment par ce point; c'est la bissectrice de l'angle intérieur opposé aux deux angles extérieur).
Sur la figure ci contre: le centre du cercle exinscrit contenu dans l'angle ABC est représenté par un point bleu. Il y a 3 cercles exinscrits à un triangle. Les bissectrices sont tracées en pointillés gris.

Centre de gravité d'un triangle:

C'est le point commun aux trois médianes d'un triangle (pour le placer il suffit de tracer deux médianes).

Il se trouve aux 2/3 de la longueur de chaque médiane à partir du sommet correspondant, et au 1/3 de la longueur de chaque médiane à partir du milieu du côté opposé à ce sommet.

Centre d'un parallélogramme:

C'est le point d'intersection des diagonales du parallélogramme. Dans les cas particuliers du carré et du rectangle ce point est le centre de cercles remarquables.

Centre de symétrie:

Si A' est le symétrique de A par rapport au point O alors O est le milieu du segment [AA']

Dans ce cas, O est un centre de symétrie

Construction du centre d'un cercle inconnu:

Pour dessiner un cercle sans utiliser un compas, vous pouvez suivre le contour d'un objet circulaire (petite boîte par exemple). L'ennui c'est que vous n'en avez pas le centre! Pour le trouver placez trois points distincts A, B et C sur le cercle. Tracez les cordes [AB] et [AC] ainsi que leur médiatrice. L'intersection de ces deux médiatrices est le centre cherché.