Distance

Définitions. Calcul d'une distance. Inégalité triangulaire. Distance d'un point à une droite. Point équidistant d'autres points. Point équidistant de plusieurs droites. Distance entre deux droites parallèles.

I Définitions:

Une distance est toujours un nombre positif.

La distance du point A au point B est notée AB . Ne pas confondre avec [AB] qui est un segment représenté par un morceau de droite; les crochets, tels qu'ils sont présentés ici , signifient que A et B appartiennent au segment. Ne pas confondre non plus, avec qui est la mesure algébrique d'un segment d'axe ( la distance AB est d'ailleurs la valeur absolue de : voir cette notion)

Le mot "distance" est utilisé dans les situations suivantes:

Distance entre deux points (longueur d'un segment, du rayon d'un cercle,..)

Distance d'un point à une droite.

Distance entre deux droites parallèles.

II Calcul d'une distance:

Sur une figure on peut calculer une distance à l'aide de théorèmes comme:

Théorème de Pythagore.

Droites sécantes coupées par deux droites parallèles.

Cosinus d'un angle.

Droite des milieux.

Milieu d'un segment.

Symétrie orthogonale et symétrie centrale

II Inégalité triangulaire:

Soient trois points A, B et C. Ils constituent un triangle de côtés [AB], [AC] et [BC]. Si nous connaissons la longueur de ces trois côtés, pouvons nous construire le triangle ABC?

Exemples:

Cas 1: AB = 6cm AC = 5cm et BC = 3cm	Cas 2: AB = 3cm AC = 5cm et BC = 2cm	Cas 3: AB = 2,5cm AC = 5cm et BC = 2cm

Il apparaît qu'une condition doit être remplie: il faut que la somme des mesures de deux côtés (ici: AB+BC) soit supérieure (1ère figure) ou égale (2ème figure) à la mesure du troisième côté. Si cette condition n'est pas vérifiée (cas de la 3ème figure où 2,5 + 2 = 4,5 est inférieur à 5) il n'est pas possible de construire le 3ème sommet B. Cette condition est appelée "inégalité triangulaire" et s'énonce:

Dans le cas de l'égalité, le point B se trouve sur le segment [AC] (Attention: pas forcément au milieu).

IV Distance d'un point à une droite:

La distance du point A à la droite (d) est la plus courte distance entre le point A et un point particulier de (d). Ce point particulier est l'intersection de la droite perpendiculaire à (d) et passant par A.
Voir "Droites perpendiculaires" pour son tracé.

H est appelé pied de la perpendiculaire à (d) passant par A.

V Point équidistant d'autres points:

Un point M équidistant des points A, B, C, ... est le centre du cercle passant par ces points. Ce cercle est le cercle circonscrit au polygone défini par ces points.

 

Un point M équidistant de deux point A et B est sur la médiatrice du segment [AB].

 

VI Point équidistant de plusieurs droites:

Un point M équidistant de deux droites (d1) et (d2) sécantes est sur la bissectrice de l'angle dont les côtés sont (d1) et (d2). Remarque: si (d1) et (d2) sont parallèles alors elles ne se coupent pas et le sommet de l'angle n'existe pas.

Un point M équidistant des droites (d1), (d2), (d3),... est le centre du cercle tangent à ces droites. Ce cercle est inscrit dans le polygone formé par les droites.

VII Distance entre deux droites parallèles:

 Les droites (d1) et (d2) sont parallèles.

La distance de (d1) à (d2) est la distance d'un point quelconque de l'une à l'autre droite. Si on choisit H sur (d1) alors la distance de (d1) à (d2) est la mesure du segment [HK] où K est tel que [HK] est perpendiculaire à (d2).

Cette distance est toujours la même, quelque soit le point choisi sur (d1) ou (d2). Ce qui se remarque bien sur un rectangle.