Nombres relatifs
(non fractionnaires)

Définitions :

Définitions :

        • Nombres positifs : ils expriment un gain. Exemple : (+2,6) , qui peut s'écrire 2,6 sans le signe et les parenthèses.
        • Nombres négatifs : ils expriment une perte. Exemple : (-5,4) qui peut s'écrire -5,4 sans les parenthèses mais avec le signe.
        • Valeur absolue : 2,6 est la valeur absolue de (-2,6) et de (+2,6).
        • Nombres opposés : deux nombres sont opposés lorsqu'ils ont la même valeur absolue et des signes différents.
                Exemple :    (-2,6) et (+2,6).
                Rappel :  la somme de deux nombres opposés est égale à 0 : (+2,6) + (-2,6) = 2,6 - 2,6 = 0 (voir plus loin).
        • Nombre relatif inverse : voir plus loin.

Comparaison de deux nombres relatifs :

      Soient x et y deux nombres relatifs.
        • Si x et y sont positifs alors le plus grand est celui qui a la plus grande valeur absolue.
        • Si x et y sont négatifs alors le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue.
        • Si x et y ont des signes différents alors le plus grand est celui qui est positif.

       Exemples :
  • 2 est plus petit que (inférieur à) 3; -2 est plus grand que (supérieur à) -3 ; -2 est plus petit que (inférieur à) 3.
  • Ranger en ordre ascendant (du plus petit au plus grand) : -1 ; 5 ; -6 ; 0 ; -2 ; 6. On obtient : -6 ; -2 ; -1 ; 0 ; 5 ; 6.

Addition et soustraction :

Addition des nombres décimaux relatifs :

      Le résultat d'une addition est appelé somme.
      Deux cas doivent être considérés : dans les deux cas il faut établir, d'abord, le signe de la somme, puis la valeur absolue de cette somme.
        • Les deux nombres ont le même signe :
- le signe de la somme est le signe des deux nombres.
- la valeur absolue de la somme est la somme des valeurs absolues.
      Exemples :
(+2) + (+3) = (+5) (ce qui s'écrit aussi 2 + 3 = 5).
(-2) + (-3) = (-5) (ce qui peut s'écrire aussi -2 -3 = -5).

        • Les deux nombres ont des signes différents :
- le signe de la somme est le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue.
- la valeur absolue de la somme est la différence des valeurs absolues.
      Exemple :
(+2) + (-3) = (-1) (ce qui s'écrit aussi 2 - 3 = -1 voir plus loin).
(+4) + (-4) = (0) (ce qui s'écrit aussi 4 - 4 = 0 dans ce cas les deux nombres sont opposés).
Remarque :

    L'ordre dans lequel les additions de nombres relatifs sont effectuées n'est pas important (on dit que l'addition des nombres relatifs est commutative).
   Exemple : (-2) + (+5) = 3 et (+5) + (-2) = 3

Soustraction de nombres décimaux relatifs :

      Le résultat d'une soustraction est appelé différence.
La règle suivante permet de transformer une soustraction en une addition
      Règle de calcul :
            Pour retrancher un nombre relatif il faut ajouter son opposé.
                 Exemple :
             A = (-8) - (+4) = (-8) + (-4) (il faut remplacer la soustraction par une addition et (+4) par son opposé (-4))
             A = -12

             B = a - b = a + (-b) (le calcul s'arrête là car on ne sait rien sur les valeurs de a et b)
Remarque :

    L'ordre dans lequel la différence de deux nombres relatifs est effectuée, est important (on dit que la soustraction n'est pas commutative).
   Exemple : (-2) - (-5) = -2 + 5 = 3 et (-5) - (-2) = -5 + 2 = -3 (la permutation des deux termes entraîne un résultat opposé).
                    De même a - b est opposé à b - a. quelque soit les valeurs de a et b.

Sommes algébriques :

Définition :

      Une somme algébrique est une suite d'opérations ne contenant aucune soustraction.
      Exemple :
            A = (-4) + (+5) + (+2) + (-5) + (-2,1)

Simplification d'écriture :

      Les parenthèses et les signes d'addition peuvent être supprimés.
      Exemple :
            A = -4 + 5 + 2 - 5- 2,1 (ne garder que les signes des nombres)

Calcul d'une expression :

      • L'expression donnée est une somme algébrique. Par exemple : A = -4 + 5 + 2 - 5 - 2,1 + 1
             - Méthode 1 : ajouter les nombres dans l'ordre où ils se présentent :
                          A = -4 + 5 + 2 - 5 - 2,1 + 1
                          -4 + 5 = + 1 puis 1 + 2 = 3 puis 3 - 5 = -2 puis -2 - 2,1 = -4,1 puis  -4,1 + 1 = -3,1.
                          Résultat : A = -3,1
             - Méthode 2 :
                          Rechercher les nombres opposés et les barrer (leur somme est égale à 0)
                             A = -4 + 5 + 2 - 5 - 2,1 + 1
                             A = -4 + 5 + 2 - 5 - 2,1 + 1
                          Ajouter les nombres positifs (+2 et +1 dans A)
                             A = -4 + 3 - 2,1
                          Ajouter les nombres négatifs (-4 et -2,1 dans A)
                             A = + 3 - 6,1 qui s'écrit aussi A = 3 - 6,1 (omission du signe + si le premier nombre est positif )                          Ajouter les deux résultats (+3 et -6,1 dans A)
                             A = - 3,1 
      • L'expression donnée n'est pas une somme algébrique. Par exemple : B = 7 - (+8) + (-4) - (-6) 
             - Écrire l'expression sous la forme d'une somme algébrique :
                    B = 7 - (+8) + (-4) - (-6) 
                    B = 7 + (-8) + (-4) + (+6) (on remplace les soustractions par des additions : voir plus haut)
                    B = 7 - 8 - 4 + 6 (on supprime les signes d'addition et les parenthèses)
             - Puis on utilise l'une des méthodes proposées ci dessus :
                    La méthode 2 conduit à : B = 13 - 12   (car : 7 + 6 = 13 et -8 - 4 = - 12 ; il n'y a pas de nombres opposés).
                    Donc : B = 1

Expressions avec des parenthèses :

Règle de suppression des parenthèses :

      • Opposé d'une somme :
             Soit la somme -2 + 5 qui est égale à 3 (ou +3) . L'opposé de cette somme (c'est à dire de +3) est -3 car (+3 + (-3) = 0).  Ce qui peut s'écrire : opp(-2 + 5) = - (-2 +5); ce qui revient à écrire opp(+3) = -3.
             Cette propriété peut être démontrée avec des lettres remplaçant des nombres relatifs (par exemple a et b) :
                          a + b - (a + b) = 0             où - (a + b) est l'opposé de (a + b)
                      mais on peut aussi écrire :
                          a + b - a - b = 0             donc :
                          a + b - (a + b) = a + b - a - b 
                      ce qui permet d'écrire :
                          - (a + b) = - a - b ou opp(a + b) = opp a + opp b
             Ce qui s'énonce : l'opposée d'une somme est la somme des opposés.
      Exemples :
            -(5 + 2) = -5 - 2 = -7
            -(-3 - 5) = 3 + 5 = 8
            -(-4 + 2) =  4 - 2 = 2
        La règle s'étend à des sommes de plus de deux nombres relatifs
            -(5 - 2 - 6 + 4) =  -5 + 2 + 6 - 4 = -9 + 8 = - 1

      • Suppression des parenthèses contenant une somme algébrique:
             - Règle 1 :
             ** Soit à calculer l'expression :
                          A = 7 + ( (-3) + (+5) )
              Cette expression ne contient aucune soustraction : c'est une somme algébrique qui peut s'écrire : 
             A = 7 + ( -3 + 5 ) ou encore A = 7 - 3 + 5

                 Si un signe + précède une paire de parenthèses
                 alors on peut l'enlever ainsi que la paire de parenthèses sans rien changer d'autre.
                                       a + ( b + c ) = a + b + c
      Exemples :
         a. A = 8 + (4 - 2) où le signe de 8 est +, celui de 4 est + (premier nombre de la somme entre parenthèses).
            A = 8 + 4 - 2 = 12 - 2 = 10

         b. B = -12 + ( -7 + 6) = -12 -7 + 6 = -19 + 6 = -13

         c. C = -8 + ( 5 - (-4) + 8 )
              Dans la paire de parenthèses il n'y a pas de somme algébrique (présence de - (-4) )
              Il faut écrire l'expression entre parenthèses sous la forme d'une somme algébrique :
            C = -8 + ( 5 + 4 + 8 ) car dans - (-4) on remplace le premier - par + puis -4 par son opposé 4.
               On enlève les ( ) à l'aide de la règle 1 :
            C = -8 + 5 + 4 + 8 = 9

             - Règle 2 :
             ** Soit à calculer l'expression :
                          A = 7 - ( 5 + 3 )
             Comme - ( 5 + 3 ) est l'opposé de ( 5 + 3 ) on a - ( 5 + 3 ) =  -5 - 3 et :
                          A = 7 - 5 - 3 = 7 - 8 = -1
                 Si un signe - précède une paire de parenthèses
                 alors on peut l'enlever ainsi que la paire de parenthèses à condition de modifier
                           la somme algébrique à l'intérieur des parenthèses en changeant tous les signes
                                       a - ( b - c ) = a - b + c
                                       a - (  - b - c ) = a + b + c
                                       a - (  - b + c ) = a + b - c
      Exemples :
         a. A = 9 - (6 + 3) = 9 - 6 - 3 = 9 - 9  = 0

         b. B = 18 - (-3 + 5) = 18 + (+3 - 5) = 18 + 3 - 5 = 21 - 5 = 16

         c. C = -4 - (8 - 3 - 2) = -4 + (-8 + 3 + 2) = -4 -8 + 3 + 2 = -12 + 5 = -7

         d. D = 15 - ( 5 + (4 - 1) - 6  )
                 on enlève d'abord la paire de parenthèses intérieures :
             D = 15 - (5 + 4 - 1 - 6 )
                 puis, la paire de parenthèses extérieures :
             D =  15 + (-5 - 4 + 1 + 6 )   = 15 - 5 - 4 + 1 + 6 =  22 - 9 =  13

         e. E = -2 - ( 5 - ( 2 - 8) - 10  ) 
                 on enlève d'abord la paire de parenthèses intérieures :
            E= -2 -  ( 5 + (- 2 + 8) - 10  )   = - 2 -  ( 5 - 2 + 8 - 10  )
                 puis, la paire de parenthèses extérieures :
            E = - 2 +  (- 5 + 2 - 8 + 10  ) = - 2 - 5 + 2 - 8 + 10 = - 15 + 12 = - 3

Deux façons de calculer une expression algébrique contenant des parenthèses :

      • Effectuer les calculs en commençant par les parenthèses les plus intérieures :
            Soit à calculer : A = - 5 - ( - 10 + ( 2 - 8 ) + 6 )
            A = - 5 - ( - 10 + ( - 6 ) + 6 ) = - 5 - ( - 10 - 6 + 6 )
            A = - 5 - ( - 10 - 6 + 6 ) = - 5 - ( - 10 )
            A  = - 5 + ( + 10 ) = - 5 + 10 = 5

      • Supprimer d'abord toutes les parenthèses et calculer la somme algébrique obtenue :
            Soit à calculer : A = - 5 - ( - 10 + ( 2 - 8 ) + 6 )
            A = - 5 - ( - 10 + ( + 2 - 8 ) + 6 ) =  - 5 - ( - 10 + 2 - 8 + 6 )
            A = - 5 + ( + 10 - 2 + 8 - 6 ) = - 5 + 10 - 2 + 8 - 6
            A = - 13 +  18 = 5

Produit de nombres décimaux relatifs :

Multiplication des relatifs :

      • Règles de calculs :

      Exemples :
         (- 2) × (- 3) = (+ 6)
         (- 2) × (+ 3) = (- 6)
         (+ 5) × (+ 2) = (+ 10)
         (- 2) × (+ 5) = (- 10) 

Simplification d'écriture :

      • Le signe de la multiplication ( × ) est souvent omis ou remplacé par un point ( · ) si il n'y a pas ambiguïté (avec le point utilisé sur les calculatrices pour les nombres décimaux, par exemple).
      Exemples :
         (- 2) × (- 3) peut être noté -2 . (- 3) ou -2 (- 3) (résultat : 6)
         (+ 2) × (+ 3) peut être noté 2 · (+ 3) ou 2 · 3 ou encore 2 (3) (résultat : 6
         (- 3) × (+ 2) peut être noté -3 · (+ 2) ou -3 (+ 2) ou encore -3 (2) (résultat : -6)

      Remarque :  
      Ne pas faire suivre le point par un autre signe tel que - ou + mais les séparer à l'aide de parenthèses. Dans le cas où le signe de multiplication est omis, il est impératif de placer entre parenthèses le nombre suivant.

 
Carré et cube d'un nombre relatif :

      Le carré d'un nombre x relatif (ou non) est le résultat de la multiplication de ce nombre par lui même et est noté x² :       x × x = x²

      Le cube d'un nombre x relatif (ou non) est le résultat de la multiplication de ce nombre par lui même répétée deux fois et est noté :       x × x × x = x^₃
      Exemples :
         (-3)² = (-3) · (- 3) = 9
         (+3)² = (+3) · (+ 3) = 9 ; le carré d'un nombre est toujours positif.

         (+3)³ = (+3) · (+ 3) · (+ 3) = 27
         (-3)³ = (-3) · (- 3) · (- 3) = - 27 ; le cube d'un nombre négatif est toujours négatif.

Remarque :  
      - 3² =  - (3 · 3) = - 9 car - 3² = -(+3)²  :  le signe - dans -(+3)² est le signe de la soustraction et non du nombre relatif 3 qui est positif. Pour éviter les erreurs il est conseillé de placer correctement des parenthèses.

Inverse d'un nombre relatif :

      L'inverse d'un nombre x relatif (ou non), non nul, est tel que le produit de x par son inverse est égale à 1.
      Exemples :
         Comme 2 × 0,5 = 1 alors 0,5 est l'inverse de 2 ( et réciproquement : 2 est l'inverse de 0,5.)
         Note : pour plus de détails cliquez ici

Expressions contenant additions et multiplications :

Priorité :

      Dans une expression ne contenant que des additions et des multiplications, la priorité est aux multiplications.
      Exemples :
            A = -5 -2 · 8 +6   calculer d'abord -2 · 8
            A = -5 -16 +6   puis effectuer les additions
            A = -21 +6  = -15

Propriétés des opérations :

      " La somme et le produit ne dépendent pas de l'ordre des termes de l'addition et de la multiplication. L'addition et la multiplication sont des opérations commutatives.
        Exemples :
            5 + (-4) = -4 + 5 = 1
            -2  · 8 = 8 · (-2) = -16

        Remarque :  
            Ce n'est pas le cas pour la soustraction : 5  - (-3) = 8 mais (-3) - 5 = -8

      • La multiplication est distributive par rapport à l'addition et la soustraction :
                        a × ( b + c) = a × b + a × c
        Exemples :
            5 × (2 + 3) =  5 × 2 + 5 × 3 = 10 + 15 = 25
            5 × (2 - 3) =  5 × 2 - 5 × 3 = 10 - 15 = -5
        Remarque:
           Lorsque les nombres sont connus, comme ci dessus, la façon la plus simple de calculer est d'effectuer les calculs entre parenthèses d'abord : 
           5 × (2 + 3) =  5 × 2 + 5 × 3 = 10 + 15 = 25
           5 × (2 + 3) =  5 × ( 5 ) = 25
           5 × (2 - 3) =  5 × ( - 1 ) = -5

Expressions avec parenthèses :

      Il y a deux façons de procéder aux calculs :

      • Première façon :  En donnant la priorité aux calculs dans les parenthèses (et en commençant par les parenthèses les plus intérieures). Voici deux exemples :
            B = -2 × [ -6 +8 × (-2) ]
            C = - [ 4 +2  × (+5) ] × { - [ 2 × (-4) +8 ] + (-5) × 2 }
illustrés chacun par un schéma de progression :

 

            Pour B = -2 × [ -6 +8 × (-2) ] : 
      1. Effectuer d'abord +8 × (-2) qui donne -16 ;
            B = -2 × [ -6 -16 ]
      2. Calculer la somme entre les crochets [ -6 -16 ] qui donne (-22) ;
            B = -2 × ( -22 )
      3. Calculer le résultat final B =  -2 × (-22) = 44.

            Pour C = - [ 4 +2  × (+5) ] × { - [ 2 × (-4) +8 ] + (-5) × 2 } :
      1. Effectuer les trois multiplications à l'intérieur des parenthèses +2 × (+5) , 2 × (-4) et (-5) × 2 qui donnent respectivement : 10, -8 et -10 ;
            C = - [ 4 +10 ] × { - [ -8 +8 ] + ( -10 ) }
      2. Calculer les sommes entre les crochets [ 4 +10 ] = 14 et [ -8 +8] = 0 ;
            C = - [ 14 ] × { - [ 0 ] + ( -10 ) }
      3. Tenir compte des signes - devant chacune de ces sommes : - [ 14 ] = -14 et - [ 0 ] = 0 ;
            C = -14 × { 0 + ( -10 ) } = -14 × { 0 -10 ) }
      4. Effectuer les calculs à l'intérieur des accolades { - 0 - 10 } = -10 ;
            C = -14 × ( -10 )
      5. Terminer en effectuant la multiplication : C = 140.

      • Deuxième façon : En enlevant d'abord les parenthèses (après avoir effectué les produits présents à l'intérieur de ces parenthèses). Cette façon de procéder est appelée "développement de l'expression". On utilise pour cela la propriété de distributivité de la multiplication par rapport à l'addition ( et soustraction). Voici deux exemples :
            D = -2 × [ 4 -8 × (-3) ]
            D = -2 × ( 4 +24 )
            D = -2 × 4 + (-2) × 28
            D = -8 + (-56) = -64

            E = 3 × ( a -1) - 2 × ( b -1)
            E = 3 × a + 3 × (-1) + (- 2) × b + (- 2) × (-1) (c'est bien -2 qui est distribué)
            E = 3a - 3 - 2b + 2
            E = 3a - 2b - 1 (comme nous ne connaissons pas les valeurs de a et b, le calcul s'arrête là).

Expressions littérales, formules:

Définition :

      • Une expression littérale est une expression dans laquelle des nombres ont été remplacés par des lettres ( parce que leur valeur n'est pas connue au moment où l'expression a été écrite).

      • Une formule est une expression littérale dont l'utilité est d'exprimer rapidement une suite de calculs.
        Exemples :
            Au lieu d'écrire que : la longueur d'un cercle de diamètre D est égale au produit de la longueur de ce diamètre par pi,
            on écrit : D.
        Remarques :
            Il est cependant nécessaire, avant d'écrire une formule, de préciser la signification des lettres (pour la formule ci dessus, la lettre D représente la longueur du diamètre, le nombre  = 3,14159... est connu universellement).

Écrire des formules (exemples) :

      a. Écrire une formule exprimant le périmètre d'un triangle équilatéral dont on connaît le côté :
            • Rappel : un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur. Son périmètre est égal à la somme de ces trois longueurs.
            • Choisir une lettre, x par exemple, pour désigner la longueur d'un côté (une seule lettre suffit : elle désigne ainsi la longueur de chacun des côtés du triangle équilatéral).
            • Rédiger la formule en remarquant que, puisque les trois côtés ont la même longueur, au lieu d'effectuer une somme, il est plus rapide d'effectuer un produit : 3 fois la longueur d'un côté. La formule est donc :    Périmètre = 3 × x. 

      b. Écrire une formule exprimant l'aire de la partie hachurée du rectangle ABCD ci contre dont les dimensions sont 8 cm et 4 cm. La partie enlevée est un carré AEFG dont la longueur du côté peut changer (dimension variable).
            • Rappel : l'aire d'un rectangle est le produit de la longueur par la largeur, l'aire d'un carré est le carré de la longueur d'un côté.
            • Choisir la variable : x (elle est imposée par l'énoncé).
            • Écrire la formule : l'aire de la partie hachurée est égale à l'aire du rectangle (8 × 4 = 32 ) à laquelle on enlève l'aire du carré (x²) :      Aire hachurée = 32 - x²

      a. Remplacer une variable par sa valeur, dans une expression littérale ou une formule :
        Exemples :
              En utilisant la formule trouvée au b. ci dessus, compléter le tableau :

variable x	2	1	0,5	3,25	4
32 - x2	32 - 22 = 28	32 - 12 = 31	32 - 0,52 = 31,75	32 - 3,252 = 21,4375	32 - 42 = 16

        Remarques :
            Une variable ne peut pas toujours prendre n'importe quelle valeur, même si le calcul est possible. Les valeurs interdites dans la formule utilisée ici sont :
                        - les valeurs négatives car une longueur est un nombre positif.
                        - les valeurs supérieures à 4, sinon le carré "déborde" du rectangle.
            Pour ces valeurs le calcul est cependant possible avec la formule utilisée ci dessus. Les résultats sont tout simplement inacceptables (aire négative).
            Pour d'autres formules, le calcul est même impossible pour certaines valeurs. Par exemple pour A = 1/x lorsque x = 0. En effet la division par 0 est impossible.

 

© Lallet Gérard 1998-2006