Espace : propriétés

     Nous n'avons pas exposé dans ce document toutes les propriétés de la géométrie dans l'espace. Loin s'en faut! Toutes les propriétés citées ici ne sont pas requises des élèves de quatrième (et même de troisième), seules deux ou trois d'entre elles sont nécessaires à la bonne rédaction d'une solution.
     Cependant les plus curieux trouveront matière à réflexions, notamment pour la compréhension de certaines figures ou pour leur construction.

Méthode:

     Démontrer dans l'espace n'est pas chose facile. La meilleure façon de s'y prendre est de ramener le problème posé à un problème dans le plan. Nous utilisons ainsi les théorèmes que nous connaissons en géométrie plane (qui s'appliquent à des situations décrites dans un plan).

     Nous pouvons même, afin d'être plus à l'aise, "extraire" de la figure dessinée dans l'espace (avec une perspective) une figure plane sur laquelle ne sont reproduits que les détails d'une section plane. Pour illustrer mon propos, voici un exemple:

     Soit un parallélépipède rectangle ABCDEFGH tel que ABFE est un carré de côté 2,5cm et BC=6cm.
     Le point I se trouve sur [EH] tel que EI=3cm.
     Calculer BI.

     Pour résoudre ce problème il nous faut connaître les propriétés du parallélépipède rectangle d'une part. D'autre part il nous faut trouver une figure plane qui contienne le segment [BI].. Pour voir ce segment [BI] en vraie grandeur sur un plan, c'est à dire sur notre feuille, il faut couper le parallélépipède rectangle par un plan qui contient les points B et I.
     Des plans comme celui là il y en a une infinité. Puisque nous avons déjà deux points, nous choisissons un plan défini par trois points: B, I et E

     Comme ce plan contient E et I alors il contient l'arête [EH] du parallélépipède rectangle.

     Comme ce plan contient E et B alors il contient la diagonale [EB] du carré ABFE.

     Nous ne donnons pas toute la démonstration (ce n'est pas l'endroit) mais nous en savons assez pour pouvoir donner une figure plane du triangle EBI.

 

Reste à démontrer que EBI est un triangle rectangle (penser au fait qu'une arête d'un parallélépipède rectangle est perpendiculaire à deux faces de celui ci et à la propriété d'une droite perpendiculaire à un plan étudiée dans l'un des paragraphes suivant). En utilisant le théorème de Pythagore dans AEB (pour calculer EB) puis dans EBI vous trouverez BI=4,6cm environ (racine carrée de 21,5).

Remarques:

     Nous avons vu dans le paragraphe précédent que les propriétés de la géométrie plane s'appliquent dans une démonstration sur un objet de l'espace. Mais nous avons eu besoin aussi de propriétés spécifiques de la géométrie dans l'espace telles que la définition d'un plan, propriété d'une droite perpendiculaire à un plan. Pour comprendre pourquoi (BC) est dans le plan de section utilisé ci-dessus, il faut une autre propriété donnée plus loin dans ce document.

     Bien sûr, dans les démonstrations sur des objets de l'espace, toutes les propriétés ne seront pas forcément notées. Tout dépend des exigences de votre professeur. Mais il est essentiel de bien connaître les propriétés des figures dans l'espace afin d'en avoir une bonne compréhension. Ne serait-ce que pour construire une figure réaliste qui ne vous induise pas en erreur (de toute façon ne vous fiez jamais à ce que vous voyez sur vos figures!). Observez votre dessin en utilisant les propriétés exposées dans la suite de ce document.

     Posez vous toujours des questions du type:
          - est-ce que ces deux droites se coupent?
          - est-ce que ce point est sur ce segment?
          - est-ce que cet angle est bien droit?...

et essayez d'y répondre en recherchant une propriété qui s'applique à votre cas de figure.

Le plan:

     Un plan est défini si on en connait:

Trois point distincts	Une droite et un point extérieur à cette droite	Deux droites distinctes

Positions relatives de deux plans:

     Deux plans peuvent être:

-confondus: il suffit de montrer qu'ils ont trois points communs.
-sécants: il suffit qu'ils soient distincts et aient un point commun (si ils en ont deux alors c'est encore mieux!).

Si deux plans sont sécants Alors leur intersection est une droite.

-parallèles: lorsqu'ils n'ont aucun point commun. (c'est le cas des plans contenant les faces opposées des cubes, des parallélépipèdes rectangles ainsi que des bases des cylindres, des prismes).

Si deux plans sont parallèles Alors toute droite (ou plan) qui coupe l'un coupe l'autre.
Si deux plans sont parallèles Alors toute droite perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.
Si un plan coupe deux plans parallèles Alors les deux intersections sont des droites parallèles.

-perpendiculaires: c'est le cas des plans contenant les faces consécutives des parallélépipèdes rectangles, des cubes.

Si un plan (P) contient une droite perpendiculaire à un autre plan (P') Alors le plan (P) est perpendiculaire à cet autre plan (P').
Si deux plans sécants (P1) et (P2) sont perpendiculaires à un troisième plan (P3) Alors la droite intersection de (P1) et (P2) est perpendiculaire à ce troisième plan (P3).      Ce qui peut se dire autrement: Si un plan est perpendiculaire à deux plans sécants Alors il est perpendicualire à leur intersection.

Position relative d'une droite et d'un plan:

     Une droite peut être:

- dans un plan:

Si une droite passe par deux points distincts d'un plan Alors elle est contenue entièrement dans ce plan.

-sécante à un plan:

Si une droite est sécante à un plan Alors elle n'a qu'un point commun avec ce plan.

-parallèle à un plan:

     Par un point A de l'espace nous pouvons mener une infinité de droites parallèles à un plan (P) donné. Toutes ces droites sont dans un même plan contenant A et parallèle au plan (P).

Si une droite non contenue dans un plan est parallèle à une droite de ce plan Alors elle est parallèle à ce plan.
Si une droite est parallèle à un plan (vert sur la figure) Alors elle est parallèle aux droites intersections de ce plan avec tous les plans qui la contiennent.

-perpendiculaire au plan:

     Par un point de l'espace nous ne pouvons mener qu'une seule droite perpendiculaire à un plan donné.

Si une droite est perpendiculaire à un plan en un point A de ce plan Alors elle est perpendiculaire à toutes les droites de ce plan passant par le point A.
Si une droite est perpendiculaire à deux droites sécantes en leur point d'intersection Alors elle est perpendiculaire en ce point au plan défini par les deux droites sécantes.

Positions relatives de deux droites de l'espace:

     Par un point de l'espace nous ne pouvons mener qu'une seule droite parallèle à une droite donnée.

Deux droites de l'espace peuvent être:

- sécantes: c'est le cas lorsqu'elles sont dans le même plan et ont un point commun.
- parallèles:

Si deux droites distinctes sont parallèles
Alors elles appartiennent au même plan et n'ont aucun point commun.

-perpendiculaires:

Si deux droites sont perpendiculaires
Alors elles appartiennent au même plan et forment un angle droit.

-quelconques: c'est le cas lorsqu'elles ne sont ni sécantes, ni parallèles, ni perpendiculaires. Il n'existe aucun plan qui les contienne toutes les deux.

Distance dans l'espace:

 Distance d'un point à un plan:

La distance d'un point A de l'espace à un plan (P) est la mesure du segment [AH] où H est l'intersection de la seule droite perpendiculaire au plan (P) et passant par A.

Distance entre deux plans parallèles:

Soient les deux plans parallèles (P) et (P') et une droite perpendiculaire commune à ces deux plans qui coupe (P) en H et (P') en K. La distance entre les deux plans parallèles (P) et (P') est la mesure du segment [HK].

    © Lallet Gérard 1998-2004