Trigonométrie
et applications 

  Ce document ne traite que de la trigonométrie plane limitée aux définitions des fonctions trigonométriques et à leurs applications aux triangles.

Introduction

     La trigonométrie traite des relations entre les côtés et les angles des triangles ainsi que des propriétés des fonctions trigonométriques (appelées aussi fonctions circulaires).
On distingue deux sortes de trigonométries:
     - la trigonométrie plane définie sur les triangles du plan.
     - la trigonométrie sphérique qui s'intéresse aux triangles sphériques (triangles à la surface d'une sphère).

     La trigonométrie est utilisée depuis très longtemps en astronomie, en navigation maritime et topographie terrestre. Aujourd'hui on l'emploie aussi en physique (étude et applications des phénomènes vibratoires) et en analyse mathématique.

Lignes trigonométriques d'un angle aigu

Rappel: La mesure d'un angle aigu est inférieure ou égale à 90°.

Définitions:

     Soit un angle aigu xÔy et un point P quelconque du côté [Oy).
Par M menons la droite perpendiculaire à l'autre côté [Ox). Cette droite coupe [Ox) en Q.
Nous démontrons que les quotients OQ/_OP, PQ/_OP et PQ/_OQ gardent chacun la même valeur quelque soit la position du point P sur (Oy). Cliquez ICI pour voir une animation et la démonstration.

     Ces quotients sont appelés 'lignes trigonométriques' de l'angle xÔy. Elles se nomment respectivement cosinus, sinus et tangente de l'angle xÔy et sont notées:

- cos xÔy = OQ/_OP
- sin xÔy = PQ/_OP
- tan xÔy = PQ/_OQ

Remarque:
    Le triangle OPQ est rectangle en Q. Dans un triangle rectangle l'hypoténuse est toujours le côté le plus long. Comme OP est plus grand que OQ et PQ alors OQ/_OP et PQ/_OP (cos et sin de xÔy) sont toujours plus petit que 1 ou égal à 1.

Quart de cercle trigonométrique:

     Le quart de cercle trigonométrique est représenté dans le quadrant I par un quart de cercle de rayon 1 (une unité, quelque soit cette unité) . Cliquez ICI pour afficher une figure variable
    Rappel: Si le plan est divisé en 4 parties par deux droites graduées perpendiculaires alors chaque partie est nommée quadrant. Le quadrant I est celui dans lequel les deux coordonnées sont positives (généralement et en pratique, il s'agit du quart de plan en "haut à droite")

    La figure ci contre donne un exemple de quart de cercle trigonométrique. Le point P est l'intersection de (Oz) et du quart de cercle. La droite (Oz) pivote autour de O faisant ainsi varier l'angle â de 0° à 90°. P est donc toujours sur le cercle. Le point T est l'intersection de (Oz) et de la droite d'équation x=1 (droite perpendiculaire en A à l'axe (Ox)). T est donc toujours sur cette droite.
    Les points P et T sont des points du côté [Oz) de l'angle xÔz. Donc:
    
Dans ces égalités nous avons: OA = OP = 1 donc:
          cos â = OH          sin â = PH          tan â = AT
Comme OHPQ possède 3 angles droits alors OHPK est un rectangle.
Comme OHPK est un rectangle alors ses côtés sont parallèles et égaux deux à deux.
Donc PH = OK et sin â = OK.

     Conclusion: Le cosinus de â est l'abscisse de H; le sinus de â est l'ordonnée de K et la tangente de â est l'ordonnée de T.

Cas particuliers:

Le quart de cercle trigonométrique permet de comprendre rapidement les cas particuliers des angles nuls (mesure égale à O°) et droit (mesure égale à 90°).

     â = 0° : dans ce cas le point P est en A, le point H est en A (cos â = 1), le point K est en O (sin â = 0) et le point T est en A (tan â = 0 car A est l'origine de l'axe portant T)

     â = 90° : dans ce cas le point P est en B, le point H est en O (cos â = 0), le point K est en B (sin â = 1) et le point T est .... à l'infini (les droites (OP) et (AT) sont parallèles, il n'y a pas d'intersection). Donc si â=90° alors tan â est indéfini.

Le tableau suivant récapitule les valeurs des lignes trigonométriques d'angles souvent rencontrés et dont il est intéressant d'en connaître les valeurs exactes. Pour les démonstrations voir le cours de 3ème (Chapitre 2).

Relations entre les lignes trigonométriques d'un angle aigu:

a - Par définition, on a cos â = OH/OP et sin â = PH/OP.
Donc: cos² â = OH²/OP² et sin² â = PH²/OP² .
D'où: cos² â + sin² â = OH²/OP² + PH²/OP²
et cos² â + sin² â = (OH² + PH²)/OP² (les deux quotients ont le même dénominateur OP²). Dans le triangle OHP rectangle en H, le théorème de Pythagore donne:
          OH² + PH² = OP² donc cos² â + sin² â = OP²/OP²    et cos² â + sin² â = 1

b - avec cos â = OH/OP et sin â = PH/OP on peut écrire:

Applications dans le triangle rectangle:

     Dans le triangle rectangle ABC, l'angle en A est droit (=90°). Comme dans un triangle la somme des angles est toujours égale à 180° alors la somme des angles CBA et BCA est 180-90=90°. Ces deux angles sont donc aigus (la somme de leurs mesures étant égale à 90°, la mesure de chacun ne peut donc être supérieure à 90°). Les angles CBA et BCA sont complémentaires.

Relations entre les côtés et les angles:

     Dans le triangle ABC rectangle en A nous retrouvons la figure étudiée au sous chapitre "Lignes trigonométriques d'un angle aigu" sous deux formes. Nous pouvons considérer:
     a - soit l'angle CBA et considérer le point C sur le côté (BC) et se projetant orthogonalement sur le côté (BA). Ce qui nous donne les lignes trigonométriques de l'angle CBA:
  cos CBA = AB/BC          sin CBA= AC/BC          tan CBA = AC/AB
     Ce qui se traduit par:
          cos CBA = côté adjacent / hypoténuse (soit AB/BC)
          sin CBA = côté opposé / hypoténuse (soit AC/BC)
          tan CBA = côté opposé / côté adjacent (soit C/AB)

     b - soit l'angle BCA et considérer le point B sur le côté (CB) et se projetant orthogonalement sur le côté (CA). Ce qui nous donne:
          cos BCA=côté adjacent / hypoténuse (soit CA/CB)
          sin BCA=côté opposé / hypoténuse (soit CA/CB)
          tan BCA=côté opposé / côté adjacent (soit AB/CA)  

     Angles aigus complémentaires:
          Rappel: deux angles aigus sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90°.
Sur la figure ci dessus les angles en B et en C sont complémentaires

     En observant les résultats ci dessus nous avons:
          cos CBA = AB/BC et sin BCA = AB/CB donc cos CBA = sin BCA.
     De même:
          cos BCA = CA/CB et sin CBA = AC/BC donc cos BCA = sin CBA.

     Les angles CBA et BCA étant complémentaires nous pouvons affirmer:

Si deux angles sont complémentaires alors le cosinus de l'un est égal au sinus de l'autre

Résoudre un triangle rectangle:

     Dans un triangle rectangle il y a six éléments: trois côtés et trois angles dont l'un est connu (l'angle droit). Connaissant la mesure de deux éléments (angle droit excepté) dont au moins un côté, nous pouvons calculer les mesures des trois autres éléments en utilisant les résultats ci dessus. Résoudre un triangle rectangle c'est donc effectuer ces trois calculs.
     Suivant ce que l'on connaît il y a 4 cas à considérer:

- l'hypoténuse et un angle aigu : calcul de l'autre angle aigu et calcul des côtés de l'angle droit avec le cosinus ou le sinus de l'angle.
- un côté de l'angle droit et un angle aigu : calcul de l'autre angle aigu et calcul de l'autre côté de l'angle droit et de l'hypoténuse avec le cosinus, le sinus ou la tangente de l'angle.
- un côté de l'angle droit et l'hypoténuse : calcul des 2 angles aigus avec le sinus ou le cosinus; calcul de l'autre côté de l'angle droit avec l'une des lignes trigonométriques de l'un des angles aigus
- les deux côtés de l'angle droit : calcul des angles aigus en calculant leur tangente et calcul de l'hypoténuse avec le sinus ou le cosinus de l'un des angles aigus.

     Pour des exemples voir le cours de troisième (Chapitre 2) .

Lignes trigonométriques d'un angle obtus:

     Rappel: La mesure d'un angle obtus est comprise entre 90° et 180°.

Règles:

    Voici une représentation d'un cercle trigonométrique (son rayon mesure 1 unité). L'angle AÔP est obtus. L'angle PÔC mesure donc 180° - AÔP ou 180° - â.
Comme le diamètre d'un cercle est un axe de symétrie alors le symétrique de l'angle PÔC par rapport à (BD) est l'angle de mesure 180°-â (dessiné en rouge sur la figure). L'angle de 180° - â est appelé supplément de â. Cette figure suggère les règles suivantes:

   - Le sinus d'un angle obtus est défini comme le sinus de son supplément. Par exemple: le sinus d'un angle de 150° est égal au sinus de l'angle 180° - 150°. Donc sin 150° = sin(180° - 150°) = sin 30° soit 0,5.

    - Le cosinus (et la tangente) d'un angle obtus est égal à l'opposé du cosinus (et de la tangente) de son supplément. Par exemple: pour l'angle de 150°, cos 150° = – cos (180° - 150°) =  – cos 30° soit -0,866... et tan 150° = – tan 30° soit - 0,577...

Pour observer ces règles voir l'animation.

Applications dans le triangle quelconque

Proportionnalité des côtés aux sinus des angles opposés:

   Dans un triangle , les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés.

 Remarque:

   Les côtés opposés aux angles A, B et C sont ici notés respectivement a, b et c pour faciliter la lecture des formules ci dessus.

Conséquences:
   Ces formules permettent de calculer :
    a - Le rayon du cercle circonscrit si on connaît un angle et la mesure du côté opposé:

 Exemple:     . Si Â=60° et a=4cm alors le rayon du cercle circonscrit mesure R = 4/2sin60° soit R ~ 2,3 cm.

    b - Un côté du triangle si on connaît un autre côté et deux angles. En effet, des égalités ci dessus on tire:

               

Exemple: On donne a=5cm et les angles B=40° et C=80°.
    Calcul de A : A = 180° - (40° + 80°) d'où A = 60°.
    Calcul de b : nous avons b = a sin B / sin A donc b = 5 × sin 40° / sin 60° soit b ~ 3,7 cm.
    Calcul de c : nous avons c = a sin C / sin A donc c = 5 × sin 80° / sin 60° soit c ~ 5,7 cm.

Calcul du carré d'un côté:

   Soit a, b et c les mesures des côtés opposés aux angles A, B et C d'un triangle quelconque ABC. Nous avons les relations suivantes: (voir la démonstration)

a² = b² + c² - 2bc cos A
b² = c² + a² - 2ca cos B
c² = a² + b² - 2ab cos C

    Ce qui s'énonce: Dans un triangle, le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés diminué de deux fois le produit de ces deux côtés par le cosinus de l'angle qu'ils comprennent.

    Ces formules permettent de calculer la mesure d'un côté lorsque nous connaissons la mesure de l'angle opposé et les mesures des deux autres côtés.
   A noter une certaine "ressemblance" avec la formule du théorème de Pythagore que nous retrouvons lorsque le triangle possède un angle droit. Par exemple, si ABC est rectangle en A alors:
      a² = b² + c² - 2bc cos 90° et comme cos 90° = 0 alors a² = b² + c².

Exemple:
   Dans le triangle ABC on donne:  = 40°, b = AC = 3 m et c = AB = 7 m. Calculer les mesures des angles en B et en C ainsi que la mesure du côté [BC] (notée BC = a).

Calcul de a : nous avons a² = b² + c² - 2bc cos A et a² = 3² + 7² - 2 × 3 × 7 cos 40°. Nous trouvons a² = 25,8261... soit a = 5,081941892.. et 5,08 m à 1 cm près par défaut .
Calcul de l'angle B : nous avons : 
et sin B = (3 sin 40°) / a ; avec a ~ 5,08, nous obtenons sin B ~ 0,379598982.. d'où B ~ 22° à 1° près par défaut.
Calcul de C : Dans un triangle la somme des mesures des angles est égale à 180°. Donc
C = 180°- (A + B) soit C ~ 180° - (40 + 22) et C ~ 118° à 1° près par excès. (on trouve 117,700138.. si on garde la meilleure définition dans chaque calcul de a et B )

 

  © Lallet Gérard 2005